Метод введения вспомогательного угла при решении тригонометрических уравнений

27-09-16 Ирина Копейкина

Пономарева Людмила Николаевна

учитель математики

ГБОУ города Москвы «Школа № 2121»

Предмет: математика

Рубрика: Хороший урок

 

Тема урока:  Метод введения вспомогательного угла при решении тригонометрических уравнений.

 

Актуализация.

Учитель.

Ребята! Мы познакомились с различными видами тригонометрических уравнений и научились их решать.  Сегодня обобщим знания  методов решения тригонометрических уравнений различных видов.  Для этого я прошу  провести работу по классификации  предложенных вам уравнений (см. уравнения №№ 1-10 в Приложении — в конце конспекта в  PDF виде)

Заполните таблицу: укажите вид уравнения, метод его решения и сопоставьте номера уравнений  виду, к которому они принадлежат.

Ученики. Заполняют таблицу.

 

Вид уравнения Метод решения Уравнения
Простейшие Формулы корней №1
Приводимые  к квадратным Метод замены переменной №2,3
Сложный тригонометрический вид Упростить до известного вида с помощью формул тригонометрии №4,5
Однородные первой степени Разделить  уравнение почленно  на косинус переменной №6
Однородные второй степени Разделить уравнение почленно на квадрат косинуса переменной №7

 

 Проблематизация. 

Заполняя таблицу,  учащиеся сталкиваются с проблемой.  Они не могут определить вид и метод решения  трех  уравнений: №8,9,10.

Учитель.  Все ли уравнения  вам удалось  классифицировать по форме и методу решения?

Ответ учащихся. Нет, три уравнения не удалось поместить в таблицу.

Учитель.   Почему?

Ответ учащихся.  Они не похожи на известные виды. Метод решения неясен.

Целеполагание.

Учитель. Как  же тогда мы сформулируем цель нашего занятия?

Ответ учащиеся. Определить обнаруженный новый тип уравнений и найти метод их решения.

Учитель. Можно ли сформулировать тему занятия, если мы не знаем вида обнаруженных уравнений и метода их решения?

Ответ учащихся. Нет, но можно это сделать позже, когда разберемся, с чем имеем дело.

Планирование деятельности.

Учитель.  Давайте спланируем нашу деятельность. Обычно мы определяем тип, а затем ищем метод решения тригонометрических уравнений. В нашей сегодняшней ситуации возможно ли дать определенное  название  виду обнаруженных уравнений? И  вообще, принадлежат ли они одному виду?

Ответ учащихся.  Это трудно сделать.

Учитель. Тогда подумайте, может что-то  их объединяет, или они похожи на какой-то тип?

Ответ учащихся.  Левая часть этих уравнений такая же, как у однородных, но правая их  часть не равна нулю. А значит, деление на косинус только усложнит решение.

Учитель.  Может быть,  начнем с поиска метода решения, а затем определим типаж уравнения?  Какое уравнение из 3-х  кажется вам наиболее простым?

Учащиеся отвечают,  но единства мнений нет.  Возможно,  кто-то догадается, что коэффициенты в уравнении №8  следует выразить  как синус и косинус табличного угла. И тогда класс определит уравнение, которое можно решить первым. Если нет, то учитель предлагает рассмотреть дополнительное уравнение (см. уравнение № 11 в Приложении — в конце конспекта в  PDF виде). В нем коэффициенты равны синусу и косинусу известного угла и ученики должны это заметить.

Учитель  предлагает  очередность  пунктов деятельности. (Cм. уравнения в Приложении —  в PDF виде, в  конце конспекта).

  1. Решить первое уравнение (№11), заменив коэффициенты значениями синуса и косинуса известного угла и применив формулу синуса суммы.
  2. Попытаться преобразовать другие уравнения  к виду первого и применить тот же метод. (см. уравнение № 8,9, 12)
  3. Обобщить и распространить метод на любые коэффициенты и сконструировать общий алгоритм  действий (см. уравнение №10 ).
  4. Применить метод к решению других уравнений того же типа. (см. уравнения №№ 12,13, 14).

Реализация плана.

Учитель. Ну что ж, план мы составили. Приступим к его  реализации.

У доски ученик решает  уравнение № 11.

Второй ученик  решает следующее уравнение №8, предварительно поделив его на постоянное число и, тем самым, сведя ситуацию к уже найденному способу решения.

Учитель предлагает решить уравнения  № 9,12 самостоятельно. Проверяет правильность преобразований и множество решений.

Учитель. Ребята, как можно назвать угол, который появляется вместо  коэффициентов уравнения и помогает нам выйти на решение?

Ответ учащихся.  Дополнительный.  (Вариант: вспомогательный).

Учитель. Не всегда легко подобрать такой вспомогательный угол. Можно ли его найти, если коэффициенты не есть синус и косинус известных углов? Какому тождеству должны удовлетворять такие коэффициенты, если мы хотим их представить как синус и косинус вспомогательного угла?

Ответ. Основному тригонометрическому тождеству.

Учитель. Молодец! Правильно! Значит перед нами задача — получить такие коэффициенты, чтобы сумма их квадратов была равна единице! Постарайтесь придумать  число, на которое нужно поделить уравнение так, чтобы выполнялось  указанное нами условие.

Ученики думают и, возможно, предложат поделить все на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов уравнения. Если нет, то учитель подводит их к этой мысли.

Учитель. Нам остается выбрать, какой из новых коэффициентов обозначить синусом вспомогательного угла, а какой – косинусом. Возможны два варианта. От выбора зависит переход к простейшему уравнению с синусом, либо косинусом.

Ученики предлагают вариант решения, и учитель его завершает, обращая внимание на форму записи рассуждений и ответа. Решают уравнение № 10.

Учитель. Мы открыли для себя метод решения нового типа уравнений? Как  назовем этот тип?

Ответ. Мы работали методом поиска вспомогательного угла. Может быть уравнения нужно назвать уравнениями, которые решаются с помощью вспомогательных углов?

Учитель. Конечно можно. А можно придумать формулу их вида? Это будет короче.

Ответ. Да. Уравнения с коэффициентами  А, В и С.

Учитель. Давайте обобщим метод для произвольных коэффициентов.

Учитель обсуждает и записывает на доске формулы  синуса и косинуса вспомогательного угла для обобщенных коэффициентов. Затем  с их помощью решает уравнения №13 и 14.

Учитель. Достаточно ли хорошо мы овладели методом?

Ответ.  Нет. Нужно прорешать подобные уравнения и закрепить умение пользоваться методом вспомогательного угла.

Учитель. Как мы поймем, что  метод усвоили?

Ответ. Если самостоятельно решим  несколько уравнений.

Учитель. Давайте  установим  качественную шкалу усвоения метода.

Познакомьтесь с характеристиками  уровней и расположите их на шкале, отражающей уровень владения этим умением. Соотнесите  характеристику уровня и балл  (от 0 до 3)

  • Умею решать уравнения с  различными  коэффициентами
  • Не умею решать уравнения
  • Умею решать уравнения повышенной сложности
  • Умею решать уравнения с  табличными  коэффициентами

 

Учитель. (После ответа учеников ) Итак, наша шкала оценок такова:

 

Характеристика уровня Балл Отметка Мой уровень
Не умею решать уравнения 0 баллов 2
Умею решать уравнения  с  табличными  коэффициентами 1 балл 3
Умею решать уравнения  с  различными  коэффициентами 2 балла 4
Умею решать уравнения  повышенной сложности 3 балла 5

 

По такому же принципу  оценим самостоятельную работу по теме на следующем уроке.

А сейчас, решите, пожалуйста, уравнения № 1148 г, 1149 г, 1150 г и определите свой уровень  усвоения темы.

Не забудьте завершить записи в таблице  и назвать тему: «Введение вспомогательного угла при решении тригонометрических уравнений».

Далее учащиеся  10 мин. работают самостоятельно. После чего сдают тетради с решением.

Рефлексия способа достижения цели.

Учитель. Ребята, достигли ли мы поставленной цели занятия?

Ответы  учащихся. Да, мы научились распознавать новый тип  уравнений.

Нашли  метод  их решения  с использованием вспомогательного угла.

Научились применять метод на практике.

Учитель.  А как мы действовали? Как пришли к пониманию того, что нам нужно делать?

Ответ. Мы рассмотрели несколько частных случаев уравнений с «узнаваемыми» коэффициентами и эту логику распространили на любые значения А, В и С.

Учитель.  Это индуктивный путь  размышления: мы  на основе нескольких случаев вывели способ и применили его в аналогичных случаях.

Перспектива. Где мы можем применить подобный путь размышления? (ответы учеников)

Вы хорошо поработали сегодня на  уроке .   Дома  ознакомьтесь с   описанием  метода вспомогательного угла  в учебнике и решите №№ 1148 (а, б, в), 1149 (а, б, в), 1150 (а, б, в). Я надеюсь, что на следующем уроке вы все прекрасно будете использовать  этот метод  при решении тригонометрических уравнений.

Спасибо  за работу на уроке!

Скачать

(Конспект урока и Приложение)